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第一章 绪论 &1.随机现象与统计学 确定现象 随机现象 本人性别 生男生女 光的速度 学习成绩 种豆得豆 （人的）反应速度 随机现象：具有以下三个特性的现象称为随机现象 （i） 一次试验有多种可能结果，其所有可能结果是已知的。 （ii） 试验之前不能预料哪一种结果会出现 （iii） 在相同条件下可以重复试验 随机事件：随机现象的每一种结果叫做一个随机事件。 随机变量：把能表示随机现象各种结果的变量称为随机变量 统计学的研究对象是随机现象规律性随机变量的分布：(i)正态分布 eg:学习成绩 图（略） (ii)双峰分布 eg::汽车拥挤程度 图（略） (iii)另一种分布 eg:如下 图（略） &2.总体和样本 总体：是我们所研究的具有某种共同特性的个体的总和 样本：是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。 (i) 总体：有限总体：总体所包含的个体数目有限时 无限总体：总体所包含的个体数目无限时 →参数：总体上的各种数字特征 (ii) 总体→抽样→ 样本：大样本：>30 >50 小样本：≤30 ≤50（更精神） (样本容量：样本中包含的个体数目) →统计量：样本上的数字特征 根据统计量来估计参数 &3.心理统计学的内容 1． 描述统计： 对已获得的数据进行整理，概括，显现其分布特征的统计方法。 集中量 平均数 ＃ 描述 差异量 标准差S: S大：差异大/不稳定 对个别 S小：差异小/稳定 对个别 统计 相关量：相关系数（表示两件事情的相互关系）r.r∈[-1,1](r表示从无关道完全相关，相关：正相关，相关，负相关) 2． 推断统计 参数估计：＃→μ s→σ 推断 r→р 统计 假设检验：参数检验 非参数检验 3． 实验设计 ↓ 初级的，用平均数，百分比 ↓ 后来，平均数 → T检验（2个对象） 标准差 ↓ 中级的，（2个或2个以上对象）（方差分析）下检验。 ↓ 高级的，相关回归（用相关系数） ↓ 再高级的，（研究生学） 因素分析（探索性的）两两相关，写相关系数 ↓ 更高级的，协方差结构方程（验证性的） 前程：相同符号的一串→非参数检验中的一种 第二章 数据整理 &1.数据种类 一．间断变量与连续变量 eg:人数 ～ 间断 二．四种量表。 1．称名量表。 Eg:307室，学好，电话好吗 不能进行数学运算（也包括不能大小比较） 2．顺序量表。Eg:名次。能力大小，不能运算 3．等距量表。可以运算（做加减法），不能乘除 要求：没有绝对0 年龄有绝对0 时间（年代，日历。。。）位移无绝对0，可能有相对0，即有正负 4．等比量表。可做乘除法。 要有绝对零。 成绩中的，0分不是绝对0（因为并不说明此人一窍不通） 分数代表的意义。Eg:0~10分 与90～100分。 每一分的"距离"不一样 因为严格来说，成绩是顺序量表。但为了实际运用中的各种统计，把它作为等距量表 &2.次数分布表 一． 简单次数分布表 eg: 组别 次数（人次） 100 2 90～99 5 80～89 14 70～79 15 60～69 7 60分以下 3 1． 求全距 R=Max - Min(连续变量) （间断变量）--R=Max－Min+1 2． 定组数 K(组数)＝1.87(N－1)。。。 →取整 N-总数 3． 定组距 I=R/K。一般，取奇数或5的倍数（此种更多）。 4． 定各组限 5． 求组值 X=(上限＋下限)/2 上限--指最高值加或取10的倍数等） 6． 归类划记 7． 登记次数 例题： 99 96 92 90 90 （I） R=99-57+1=43 87 86 84 83 83 82 82 80 79 78 (II)K=1.87(50-1)。。。≈9 78 78 78 77 77 77 76 76 76 76 75 75 74 74 73 (III)I=R/K =43/9≈5 72 72 72 71 71 71 70 70 69 69 68 67 67 67 65 (iu)组别 组值 次数 64 62 62 61 57 95~99 97 2 90~94 92 3 85~89 87 2 80～84 82 6 75～79 77 14 70～74 72 11 65～69 67 7 60～64 62 4 55～59 57 1 总和 50 二． 相对（比值）次数分布表。 累积次数分布表 相对（比值）累积次数：累积次数值/总数N 注：一般避免不等距组（"以上""以下"称为开口组） 相对次数 累积次数（此处意为"每组上限以下的人次）"小于制" .04 50 .06 48 .04 45 .12 43 .28 37 .22 23 .14 12 .08 5 .02 1 1.00 &3.次数分布图 一．直方图 1． 标出横轴，纵轴（5：3）标刻度 2． 直方图的宽度（一个或半个组距） 3． 编号，题目 4． 必要时，顶端标数） 图 二．次数多边图 1． 画点，组距正中 2． 连接各点 3． 向下延伸到左右各自一个组距的中央 最大值即y轴最大值 相对次数分布图，只需将纵坐标改为比率。（累积次数，累积百分比也同样改纵坐标即可）"S形"曲线是正态分布图的累积次数分布图 图 第三章 常用统计量数 &1.集中量 一．算术平均数 公式 算术平均数的优缺点。P36~37 算术平均数的特征。Σ（X-#）=0 离（均数）差 Σ（X-#）（X-#）取#时，得最小值 即：离差平方和是一最小值 二．几何平均数 ＃g= 略 long#g=1/NσlogXi 根据按一定比例变化时，多用几何平均数 eg: 91年 92 93 94 95 96 12％ 10％ 11％ 9％ 9％ 8% 求平均增长率 xg= 加权平均数 甲：600人 #=70分 乙：100人 #=80分 加权平均数：＃=(70*600+80*100)/(600+100) (总平均数)eg:600人，100人 简单平均数：（70＋80）/2 三．中（位）数。(Md) 1.原始数据计算法 分：奇、偶。 2．频数分布表计算法（不要求） 3．优点，缺点，适用情况（p42） 四．众数（Ｍo） 1．理论众数 粗略众数 2．计算方法：Mo=3Md-2# Mo=Lmo+fa/(fa+fb)*I 计算不要求 3．优缺点 平均数，中位数，众数三者关系。 &2.差异量数 一．全距 R=Max-Min 二．平均差（MD或AD） MD={Σ|x-#(或Md)|}/N 三．方差 总体方差的估计值 S2 =Σ（X － #）2 反编 样本的方差：σ2 x有编 N很小时，用S2 估计总体 N>30时，用S2 或σ2 x 都可以 计算方法：σ2 x＝Σx2 /N － (ΣX/N) 2 标准差σx＝σ2 x2/1 四．差异系数（CV） CV=σx/# *100% CV∈[5%,35%] 3个用途 五．偏态量与锋态量（SK） 1.偏态量：sk=(#-Mo)/σx 动差（一级~四级） a3= Σ(x-#)3 、 / N/σx3 三级动差计算偏态系数） 2．峰态量：高狭峰 a4>0 (a4=0 --正态峰) 低调峰。A4<0 用四级动差 a4=Σ(X - #)4/N/σx4－3 &3.地位量数 一．百分位数 eg:P30=60(分) "60分以下的还有30%的人" 二．百分等级 30→60（在30％的人的位置上，相应分数为60） So→Md 第四章 概率与分布 &1．概率 一．概率的定义 W(A)=m/n (频率/相对频数) 后验概率： P(A)=lim m/n 先验概率：不用做试验的 二．概率的性质和运算 1．性质：o≤P≤1 p=1 必然可能事件 p=0 不可能事件 2．加法。 P(a+b)=P(a)+P(b) "或"：两互不相克事件和。 推广："有限个" P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) eg:（1）A=出现点数不超过4（x≤4） P(A)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=1/6+…1/6=4/6=2/3 (2)完全凭猜测做判断题，（共2道），做对1题的概率为： A={T.Ti B={F.Ti C={T.Fi D={F.Fi P=P(B)+P(C)=1/4+1/4=0.5 3.乘法： P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An) Eg:(1)四选1。（十道）完全凭猜测得满分得概率：(1/4)*(1/4)…*(1/4)=1/410 &2.二项分布 一．二项分布 P(x)=Cnxpxgn-x 做对的概率 px ：做错的概率 gn-x ：X:对的数量pxgn-x --每一种分情况的概率。一种情况：pxgn-x 再乘上系数。 Eg:产品合格率为90％ 取n=3（个） TTT的情况 90 * 90*90=P3 0.729 TFT 90*0.10*90=P2g1 0.081 两个合格的情况→ TTF FTT 其概率 C32P2g1=3p2g1. Cn0P0gn+CnP1gn-1+…+CnPng0=1 注：二项分布可能的结果只有两种。F 0r T 合格 Or 不合格 选对 Or 选错 例：（1）10道是非题，凭猜测答对5，6，7，8，9，10题的概率？至少答对5题的概率？ P(x=5)＝C510P5g5=C510(1/2)51/2)5=.24609 P(x=6)=C610P6g4=C610(1/2)6(1/2)4=.20508 P(x=7)=C710P7g3=C710(1/2)7(1/2)3=.11719 =.04395 =.00977 +P(x=10)=C1010P10g0=(1/2)10 =.000098 至少答对5题：P(X≥5) = 0.62306 (2)四选一，猜中8，9，10题的概率？ P(x=8)=C819P8g2=C819(1/4)8(3/4)2=.0039 二．二项分布图（P84~85） 三．二项分布的平均数与标准差（前提np≥5且ng≥5） 平均数--M=np 标准差--r=npg1/2 &3.正态分布 一．正态分布曲线 二．标准正态分布。（P387附表可查面积P） Z=(x-ц)/r (x:原始分数) 标准分数（有正有负） ΣZ=0 三．正态分布表的使用 查表 P(0≤Z≤1)=0.34134--Z的范围中的人数比例（百分数） P(0≤Z≤1.645)=0.4500 1.64 － .44950=0.45 1.65 － .45053=0.45 之上，标准分数高于2个标准差，则非常聪明。 Eg:1. μ=70(分) σ＝10 P(70≤x≤80)=p(o≤z≤1) P(60≤x≤70)=P(-1≤z≤0) 2.μ P(0≤z≤1)=P(μ≤x≤μ+σ) P(-1≤z≤0)=P(μ-σ≤x≤μ) 图（略） 例：某地区高考，物理成绩 μ＝57。08（分） σ＝18。04（分） 总共47000人。 （1）成绩在90分以上多少人？ （2）成绩在（80，90）多少人？ （3）成绩在60分以下多少人？ 解: X~N(57.08,18.042) -- 参数（μ,σ2） Normal 表示符合正态分布 令Z= (x-57.08)/18.04） ,则Z~N(0,12)标准分数平均数一定为0，标准差一定为1。 （1）Z1=(90－57。08)/18.04=1.82 P(Z>1.82)=.0344 N1=np=47000*0.0344=1616(人) (2)Zz=(80-57.08)/18.04=1.27 P(1.27<Z<1,82)=.46562-.39796=0.677 N2=NP=3177(人) （3）Z3=(60-57.08)/18.04=0.16 P(Z<0.16)=.56356 N3=26487(人) 四．正态分布的应用 T=KZ+C T~N(C,K2) IQ=15Z+100 IQ=100 一般 IQ≥130 --超常 (30=2x*15) IQ<70 -- 弱智 70几 --bndenline eg:1.某市参加一考试2800人，录取150人，平均分数75分，标准差为8。问录取分数定为多少分？ 解： X~N(75.82) Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ～N(0,12) P=150/2800=0.053 0.5-0.053=0.447 Z=1.615 X=1.615*8+75≈88(分) 2．某高考，平均500分，标准差100分，一考生650分，设当年录取10％，问该生是否到录取分？ 解： Zo=(650-500)/100=1.5 (X～N(500,1002)(Z～N(0,12) Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%<10% 所以可录取。 第五章 抽样分布（概率P） &1.抽样方法 一． 简单随机抽样 二． 等距抽样 三． 分层抽样 四． 整群抽样 五． 有意抽样 &2.抽样分布 （1） （2） （3） （4） （5） 20 25 30 35 40 （1） ＃＝20 22.5 25 27.5 30 （2） 22.5 25 27.5 30 32.5 （3） 25 27.5 30 32.5 35 （4） 27.5 30 32.5 35 37.5 （5） 30 32.5 35 37.5 40 总体分布 图 抽样分布 图 一．平均数 E(#)=μ 二。标准差，方差。 σx=σ/n1/2 σ#2=σ2/n &3.样本均值（#）的抽样分布 一．总体方差σ2已知时，＃的抽样分布 1．正态总体，σ2 已知时，＃的抽样分布 设（X1,X2,…Xn）为抽自正态总体X~N(μ, σ2 ) 的一个简单随机样本，则其样本均值＃也是一个正态分布的随机变量，且有： E(#)=μ, σx2 =σ2 /n 即＃～N(μ, σ2 /n) Z=(#-μ)σ/n1/2 Eg:一次测验，μ=100 σ＝5 从该总体中抽样一个容量为25的简单随机样本，求这一样本均值间于99到101的概率？ 解： 已知X～N(100,52) n=25. 则＃～N(100,12) Z=(#-100)/1 ～ N(0,1) 当#=99时，Z=-1 当#=101时，Z=1 所以P(99≤#≤101) =P(-1≤Z≤1)=.68268 2.非正态总体，σ2已知时，#的抽样分布 设（X1,X2,…Xn）是抽自非正态总体的一个简单1随机样本。当n≥30时，其样本均值＃接近正态分布，且有： E(#)=μ, σx2 =σ2 /n 即#～N(μ, σ2 /n) 若是小样本，题目无解。 Eg(1)一种灯具，平均寿命5000小时，标准差为400小时（无限总体）从产品中抽取100盏灯，问它们的平均寿命不低于4900小时的概率。 解：已知：μ＝5000，σ＝400，n=100>30是大样本 所以＃近似正态分布 ＃～N(5000,402) 当＃＝4900时，Z=(4900-5000)/400/1001/2=-2.5 P(#≥4900)=P(Z≥-2.5)=0.99379 3.有限总体的修正系数 （引出）（2）同上题，从2000（有限总体）盏中不放回地抽取100盏，问。。。。。 （概念）设总体是有限的总体，其均值为μ，方差为σ2 （X1,X2…Xn）是以不放回形式从该总体抽取的一个简单随机样本。则样本均值＃的数学期望（E(#)）与方差为 E(#)=μ#=μ 和σ2 ＝（N-n）/(N-1)*( σ2 /n) N→∞时，修正系数不计。 σ＝[（N-n）/(N-1)*( σ2 /n)]1/2 .n/N≥0.05%,要用修正系数 如题（2），n/N＝0.05 所以要用修正系数 所以解题2：σx2 ＝（N-n）/(N-1) *( σ2 /n)＝2000－100）/2000-1=4002 /100=1520 σ#=15201/2 =38.987 Z=(4900-5000)/38.987= -2.565 P(Z≥-2.565)=.9949 二．总体方差σ2 未知时，样本均值＃的抽样分布。 用S2(总体方差的估计值)代替 σ2 t=(x-μ)/s/n1/2 ～tn-1→dp(自由度)=n-1 设（X1,X2,…Xn） 为抽自正态总体的一个容量为n的简单随机样本，即t=(x-μ)/s/n1/2符合自由度为n-1的t分布 当总体为非正态分布，且σ2 未知。 则样本 小：无解 大：接近七分布 t≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ～ tn-1 Z≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ~ N(0,1)(也可用Z) 总体均值为80，非正态分布，方差未知，从该总体中抽一容量为64的样本，得S=2,问样本均值大于80.5得概率是多少？ 解：因为64>30 是大样本 P(#>80.5)=P(t>(x-μ)/s/n1/2 )=P(t>2) df=63 P≈0.025 若用Z，P(Z>z) ≈0.02275 (若N24，总体正态，则Z分布1不能用，只能用七分布) 非正态总体：小样本--无解 大样本--Z≈(x-μ)/σ/n1/2 σ2 已知 正态总体 Z=≈(x-μ)/σ/n1/2 非正态总体：小样本 -- 无解 σ2 未知： 大样本--t≈(x-μ)/σ/n1/2 ≈Z 正态总体：小样本--t=(x-μ)/σ/n1/2 大样本--Z≈t=(x-μ)/σ/n1/2 &3.两个样本均值之差（#1-#2）的抽样分布 若＃1是独立地抽自总体X1～N(μ1,σ2 )的一个容量为n,的简单随机样本的均值；＃是。。。X2～N(μ2, σ22 )的。。。n2.的。。。则两样本均值之差(#1－#2)～N(μ1-μ2,σ12/n1,σ22/n2) 复杂计算 一种钢丝的拉强度，服从正态分布 总体均值为80，总体标准差6，抽取容量为36的简单随机样本，求样本均值∈[79，81]的概率 X~N(80,62) Z~N(0,12) Z=(x-μ)/6/361/2 =(x-8)/1 x∈[79,8081] Z ∈[-1,1] P=.68268 若σ不知。S=b，则 X～(80, σ2 ) 用公式t=(# -μ)/s/n1/2 ~ tn-1 =t35 某种零件平均长度0.50cm,标准差0.04cm,从该总零件中随机抽16个，问此16个零件的平均长度小于0.49cm的概率 无解。 抽100个，则概率？ Z≈(x-μ)/σ/n1/2 =(# - 0.50)/0.004 #<0.49 P(Z<-0.01/0.004) =P(Z<-2.5)=.49379= 从500件产品中不放回地抽25件。 25/500=0.05 要修正系数（N-n）/(N-1)≈.95 某校一教师采用一种他认为有效的方法，一年后，从该师班中随机抽取9名学生的成绩，平均分84.5分，S=3。而全年级总平均分为82分，试问这9名学生的＃<84.5分的概率为多大？ #～N(82, σ2 ) t～t8 t=(# -μ)/s/n1/2 =84.5-82)/3/3=2.5 df=8 0.975≤P(t<2.5) 说明方法有效 （S=3是σ的估计值，两组数据都很整齐。 图（略） &4.有关样本方差的抽样分布 一．f2分布 1．f2 分布的密度函数 f(x)=1/2n/2*r*n/2)* e-x/2*xn/2-1 (x>0) f(x)=0 (x≤0) 图（略） 2.定理： 设（X1,X2,X3…Xn）为抽自正态总体 X～N(μ,σ2 )的一个容量为n的简单随机样本，则#=∑(X-#)2/n-1为相互独立的随机变量，且＃~N(μ, σ2 /n) ∑(X-#)2 /σ2 =（n-1）S2 /σ2 ~X2n-1(I=1,2,…n) 若抽自非正态总体：小样本 -- 无解 大样本 -- X2≈(（n-1）S2 /σ2 二．F分布 1．F分布的密度函数 f(x)= [(n1+n2)/2]/(n1/2)(n2/2) (n1/n2)(n1/n2*X)n1/2-1(1+n1/n2*X)-n1+n2/2 (x≥0) f(x)=0 (x<0) 2.定理 设(X1,X2,…Xn)为抽自X～N(μ1, σ2 1)的一个容量为n1的简单~(y1,y2…yn)为抽自正态总体y～N(μ2, σ2 2)的一个容量n2的简单～，则： 当σ2 1=σ2 2时， F=S21/S22~F(n1-1,n2-1) n1~分子自由度 n2～分母自由度 第六章 参数估计（置信水平下的区间估计） &1.点估计 E(X)(即＃)=∑x/N→μ （拿一个点来估计参数） D(X)= ∑(x-#)2 /N-1→σ2 &2.总体均值的区间估计 一．总体均值的区间估计，σ2 已知。 正态总体 x~N (μ, σ2 ) #~N((μ, r2/n) Z=(# -μ)/ σ/n1/2 1．某种零件的长度符合正态分布。σ＝1.5，从总体中抽200个作为样本，＃＝8.8cm，试估计在95％的置信水平下，全部零件平均长的置信区间。 解： 已知X~N(μ,1.52 ) n=200, #=8.8 1-a=0.95 →a-0.05 Z0.025=1.96 P(#-Za/2σ/n1/2 <μ<#+Za/2 n1/2 =P(8.59<μ<9.01)=0.95 10%>5% 若不放回地从2000个（总体）中抽出200个。--需修正系数 所以用(N-n)/(n-1)1/2 P(# +- 1.96*σ/n1/2 *(N-n)/(n-1)1/2 =0.95=P(8.60,9.00) 二 σ2 未知 P(#-t(a/2,n01)S/ n1/2 <μ<#+t(a/2,n-1) S/ n1/2 )=1-a 为了制定高中学生体锻标准，在某区随机抽36名男生测100米，36名学生平均成绩13.5秒，S=1.1秒，试估计在95％地置信水平下，高中男生100米跑成绩的置信区间。 P(# + - 2.03* S/ n1/2 )=P(13.5+- 2.03*1.1/361/2 )=9.5 (13.5+-0.37) 即（13.13,13.87） 得(13.14,13.86) |
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