作者按：

1.节选自《新视界心理学——认知结构知识模型理论及其在学科教学、心理咨询和学习辅导中的应用》P128-143

2.该部分内容及书中心理学基本理论也成为后期“课后通个性化教学专家系统”的理论依据

一、程序性知识训练是学科教学过程的重要环节

在认知结构的四类知识中，陈述性知识描述“是什么”和“为什么”，从理性即逻辑层面把握事物；意象描述主体真实内心感受和整体印象，从直觉和情感层面把握事物。二者建立起方向一致的实质性联系，则表明主体已真正理解事物及其本质，彻底解决了“知”的问题。程序性知识是描述“会做什么”的问题，是解决“行”的问题。程序性知识的建立首先有赖于前二者，但不能自动生成，需要反复训练强化才行，即使是消极行为模式（人格结构中的一种程序性知识）往往也不是一次性形成，也是在消极情绪体验状态下经过反复体验强化而形成的。程序性知识可以在只有意象而没有陈述性知识参与的情况下形成，如动物学习和儿童早期的行为形成，这是在象征性思维作用下形成的。学科教学中的程序性知识往往表现为智力技能和操作技能，这不是随意的程序，而是合乎要求、准确、规范、有效的程序性知识，往往更难以自动生成，需要精心安排的一套教学程序下，通过有意注意参与下的抽象逻辑思维过程，才能很好地完成教学目标。因此学科教学中重要程序性知识的教学是重要的教学环节之一，处理不好，就无法形成合乎学科要求的有效程序性知识，从而导致学习心理障碍。

 二、程序性知识训练理论

关于操作技能和智力技能的理论是教育心理学一个相对成熟的领域，有丰富的研究成果，本书对此不作详细展开介绍，只是引用几个作者认为比较成熟实用的理论。

（一）费茨和波斯纳的运动技能的学习过程理论（费茨和波斯纳，1967）

1．认知阶段：理解学习任务，形成目标意象（goal-image）和目标期望（goal-expectancy）

2．联系形成阶段：重点是使适当的刺激与反应形成联系，建立动作连锁。

3．自动化阶段：一长串的动作系列似乎是自动流出来，无需特殊的注意与纠正。

（二）加里培林的智力技能的学习过程（加里培林，1953）

加里培林认为智力技能的形成分为五个阶段：

1．活动的定向阶段。此阶段的特点是把智力活动本身外部化，以物质或物质化形式向学生提示动作本身，这时学生还没有亲自行动，只是理解这种动作的逻辑和实现这种动作的可能性。

2．物质活动或物质化活动阶段。即借助于实物或实物的模型、图表、标本等进行学习。此阶段的关键，一是展开，二是概括。展开即把智力活动分为若干小的单元；概括指学生在初步掌握展开的外部操作的直观水平上，形成关于智力活动的较为概括的表象。

在教学过程中，学习科学基础知识能利用的物质活动是有限的，因此物质化活动就成为主要的活动形式。它是物质活动的一种变形，能使学生通过外部物质化活动来进行智力活动，并保存了形成新智力活动的那种自然心理程序。而且图表、模型、图片、示意图等能再现出实物的本质特性和关系，利用这些物件来进行外部活动，还能对它们进行比较、测量、移动和改变等，是帮助学生理解所学内容的良好支柱，因此，这对学生的智力活动来说极其重要。 

3．出声的外部言语活动阶段。这一阶段是以出声的外部言语形式来完成实在的活动，是智力技能内化的第二步。此时智力活动已经摆脱了实物或实物的替代物，而代之以外部言语为支持物。它是智力活动形成的一个特殊阶段，是由外部的物质活动向智力活动转化的开始，是智力活动形成的一个重要阶段。

4．无声的“外部”言语活动阶段。这一阶段的特点在于智力活动是以不出声的外部言语来进行的，它要求对言语机制进行很大的改造。即在出声言语时是眼、口、耳、脑同时协同活动，现在仅是眼、脑同时活动，因而这种言语形式要求学生重新学习和掌握。不出声的外部言语形式的活动的形成，是活动向智力水平转化的开始。

5．内部言语活动阶段。这是智力技能形成的最后阶段，是智力活动简化、自动化似乎不需要意识的参与而进行智力活动的阶段，是名副其实的智力技能形成阶段。其主要特点是压缩和自动化，似乎脱离意识的范畴，脱离自我观察的范围，无论在言语机制和结构上都发生了重大变化。在机制上，外部言语是与他人进行交际的手段，是指向别人的。而内部言语则完全失去了这些功能，是“为自己所用的言语”，是为固定智力过程的个别因素与调节智力过程的进行而服务的，在结构上，常常被简缩得不合语法结构，主要是带有谓语的性质，不再是扩展的与合乎语法的了。

（三）冯忠良的智力技能形成阶段理论

北京师范大学心理系教授冯忠良在加里培林“内化”学说的基础上，经过长期的“结构——定向”教学实验，提出了智力技能形成的阶段理论。

1．原型定向阶段。智力活动的原型是指智力活动的实践模式，就是“外化”或“物质化”了的智力活动方式或操作活动程序。智力技能形成中的原型定向，就是要使学生了解智力活动的“原样”，从而使学生知道该做哪些动作和怎样完成这些动作，明确活动的方向。它是智力技能形成不可缺少的一个阶段。首先，智力技能是一种按照客观的、合理的、完善的程序组织起来的认知活动方式，要学生能独立做出。这样就得在头脑内建立起有关这种活动方式的定向映象，才能调节自己的活动，做出相应的动作。其次，智力活动是一种内化了的动作，是在头脑内进行的，是实践活动的反映。因此，智力活动的定向，必须借助于一定的物质形式使这种活动得以“外化”的原型才能进行，由此这一阶段称为“原型定向阶段”。它的主要任务就是使学生建立起进行智力活动的初步自我调节机制，为进行实际操作提供内部控制条件。这一阶段学生的主要学习任务是，（1）要确定所学智力技能的实践模式；（2）要使这种实践模式的动作结构和程序在学生头脑内得到清晰的反映，并形成准确而清晰的动作和程序映象。在教学条件下，往往是在教师的直观示范及讲解的基础上实现的。在这一阶段，学生还没有亲自动手操作。

2．原型操作阶段。原型操作就是依据智力技能的实践模式，学生进行实际操作。在此阶段，活动的执行是在物质或物质化水平上进行。在原型操作阶段，动作的对象是具有一定物质形式的客体，是通过一定的机体活动来实现的，对象在动作的作用下所发生的变化也是以外显的形式实现的。学生在此阶段，不仅依据原有的定向映象做出相应的动作，同时使动作在其头脑中得到反映，从而在感性上获得完备的动觉映象，这种完备的感性的动觉映象是智力技能形成及以后内化的基础。因此，原型操作是智力技能形成的一个重要阶段。

研究表明，要使学生的智力技能在操作水平上顺利形成，应做到：（1）要使操作活动以展开的方式出现，让学生依据操作活动的原型，把构成这一操作活动的所有动作系列，一个个地分别按照一定的顺序做出，不能有任何遗漏或缺失。每个动作做完后，教师要及时检查，考察操作动作的方式是否能正确完成，对象是否发生了应有的变化。（2）要变更操作活动对象使操作活动方式在直觉水平上得以概括，使学生形成操作活动的表象；（3）要注意操作活动的掌握程度，并适时的向下一阶段转化；（4）为便于操作活动的形成和向下一阶段转化，在此阶段的全过程中，要注意与言语结合，做到边说边做或边做边说，这样便于向下一阶段转化。

3．原型内化阶段。原型内化是指动作离开原型中的物质客体与外观形式而转向头脑内部，借助于言语作用于观念性对象，从而对对象进行加工改造，使原型在学生头脑中转化为心理结构内容的过程。为达到内化水平，在本阶段的动作执行的教学上应该做到：（1）动作的执行应从外部言语开始，逐步转向内部言语。在采用口头言语的场合，应注意从出声的外部言语转向不出声的外部言语，最后转向内部言语；（2）在原型内化开始阶段，动作应重新在言语水平上展开，然后依据动作的掌握程度，在较熟练时，进行适当而必要的缩简，为内化创造条件；（3）注意变更动作的对象，使动作的方式得以概括，以便能广泛适应同类课题；（4）在进行各阶段转化时，要注意动作的掌握程度，既不要过早又不要过迟，要适时，要求教师把握好学生头脑中的原形转化为内部心理结构的时机。

上述程序性知识训练理论非常细致，操作性也很强，但更适用于低年级孩子的智力技能和操作技能训练，在中学教学中，由于学生已经具备大量的基础性操作技能和智力技能，其实不用针对每个程序性知识都从头进行完整的训练过程，关键是做好三件事：（1）吃透概念；（2）补足关键环节程序性知识训练；（3）进行完整解决问题程序连接训练。在中学实际教学中可以简化为：在理解概念规律的基础上，通过原型定向理解操作步骤和要领——分解练习——集成化练习——反馈改错——反复变式练习强化达到熟练，从而产生程序性知识并纳入认知结构。

三、学科教学中程序性知识训练要点

中学课程的程序性知识是应用所学的理论知识分析解决实际问题的智力技能，在学习一个新的重要程序性知识前，其可资利用也必须利用的资源有：（1）新学到的科学概念规律等理论，不妨称为“第一类陈述性知识（DⅠ）”，这是关于“是什么”和“为什么”的知识；（2）描述该程序性知识的方法、步骤、要领，不妨称为“第二类陈述性知识（DⅡ）”，这是关于具体“怎么做”的知识；（3）已经具备的各种背景性知识、常识，这也是一种陈述性知识，不妨称为“第三类陈述性知识（DⅢ）”；（4）已经具备的基本技能，即已经具备的程序性知识；（5）一般的解决问题策略性知识。这其中就有三项是关于陈述性知识。在活动中，陈述性知识往往是定向工具和判别依据，缺乏必要的陈述性知识，活动就没有方向，也失去校准控制的依据，活动将无法进行，自然也无法形成程序性知识；而程序性知识是具体执行的工具，不具备必要的基础性程序性知识，自然无法形成包含该程序性知识的更复杂的程序性知识，必要的程序性知识不熟练则会增加更大范围程序性知识形成的难度，需要局部强化达到熟练才能顺利进行更大范围程序性知识的训练。程序性知识训练过程中应注意以下环节：

1.吃透学科核心概念和规律

掌握的教学目标包含理解。没有准确理解概念，谈不上准确、灵活、熟练运用，所以，训练运用所学学科知识解决问题的程序性知识前提之一就是吃透学科核心概念和规律。

2.明确规范的思维操作步骤和要求

规范的思维操作步骤和要求指前面的“第二类陈述性知识（DⅡ）”的内容，要训练精确、到位、合乎要求的程序性知识，必须明确描述该程序性知识的方法、步骤、要领。当然在教学实践中不一定一次性罗列出全部方法、步骤、要领，可以循序渐进不断深化，可以引导学生不断发现这些知识，但最终必须保证学生获得全面准确的陈述性知识。

规范的思维操作步骤和要求（怎么做的知识）举例

例1 袁志勇作文“思维台阶”——如何写出段落

（作者注：摘自2009年与特级教师袁志勇合作《作文智慧罗盘软件，袁先生亲笔著脚本》，再次感谢）

 思路一览

思路1

    说出一个时间，在一天之内，可以找“早晨”，也可以找“晚上”。

    说出一个时间，在一天之内，可以找“上午”，也可以找“下午”。

思路2

    回答“你会干什么”——可以写做了什么事，比如“刷牙”，比如“和爸爸一起打羽毛球”。

    回答“你会干什么”——可以写说了什么话，比如“对妈妈说：‘我想玩电脑游戏！’”，比如“我训斥弟弟：‘你怎么能够这么淘气呀？’”

思路3

    回答“谁要做些什么”——可以写“你自己”做了些什么，比如“我把牙膏挤到牙刷上”，比如“我把羽毛球打出去”。

    回答“谁要做些什么”——可以写“别人”做了些什么，比如“妈妈在旁边监督我”，比如“爸爸打羽毛球打出了界外”。

思路4

回答“此人到底是怎么做的”——可以回忆“此人到底是怎么做的”，比如回忆“我把牙膏挤到牙刷上——我把牙膏挤得到处都是”，比如回忆“我把羽毛球打出去——我根本没有用上力气”。

回答“此人到底是怎么做的”——可以想象“此人到底是怎么做的”，比如想象“我把牙膏挤到牙刷上——牙膏根本没有挤出来”，比如想象“我把羽毛球打出去——我的球居然把爸爸打倒在地”。

思路5

写成段落——必须要完成前面四步的所有答案，那四步就是：

 参考答案 

 例2 高一物理受力分析技能训练的操作步骤及其背景性陈述性知识：

受力分析的步骤 ：

为了在受力分析时不多画力，也不漏力，一般情况下按下面的步骤进行：

（1）确定研究对象，可以是某个物体也可以是整体。

（2）隔离研究对象，按顺序画出物体受力。

a．先画重力：作用点画在物体的重心，方向竖直向下。

b．次画已知力。

c．再画接触力（弹力和摩擦力）：看研究对象跟周围其他物体有几个接触点（面），先对某个接触点（面）分析，若有挤压，则画出弹力，若还有相对运动或相对运动的趋势，则再画出摩擦力。分析完一个接触点（面）后，再依次分析其他的接触点（面）。

d．再画其他场力：看是否有电、磁场力作用，如有则画出。

（3）验证： 

a．每一个力都应找到对应的施力物体。

b.受的力应与物体的运动状态对应。

说明：

（1）只分析研究对象受的根据性质命名的实际力(如：重力、弹力、摩擦力等)，不画它对别的物体的作用力。

（2）合力和分力不能同时作为物体所受的力。

（3）每一个力都应找到施力物体，防止“漏力”和“添力”。

（4）可看成质点的物体，力的作用点可画在重心上，对有转动效果的物体，则力应画在实际位置上。

（5）为了使问题简化，常忽略某些次要的力。如物体速度不大时的空气阻力、物体在空气中所受的浮力等。

（6）分析物体受力时，除了考虑它与周围物体的作用外，还要考虑物体的运动情况(平衡状态、加速或减速)，当物体的运动情况不同时，其情况也不同。

3.循序渐进，先分解练习后综合练习

学习一段舞蹈或体操或一项体育运动技能，都是一段一段分解模仿学习，熟练后进行整体连接练习。比较复杂的学科智力技能训练也是按照这种顺序进行。如学习运用牛顿运动定律解决力学问题，首先要掌握分析运动的知识和方法，然后掌握力的知识和受力分析及力的运算知识，然后才能综合起来进行运用牛顿定律解决问题的程序性知识训练。

综合运用学习是在掌握基本概念和原理并形成了运用单一概念原理解决问题的程序性知识基础上，综合运用所学知识解决复杂问题的训练，主要是联结各种概念规律的陈述性性知识和程序性知识产生更大范围的程序性知识的过程。主要通过综合性习题课和练习实现，同样也遵循“原型定向理解操作步骤和要领——实例练习——反馈改错——反复变式练习强化达到熟练，从而产生程序性知识并纳入认知结构”的程序。同时在这些更综合的智力活动中通过总结感悟产生更高的程序性知识——策略性知识。

4.过程展开，并及时反馈改错

因为学科性智力技能是运用科学知识、合乎科学思维规则和规律的程序性知识，科学知识理解的准确性、运用过程思维的规范性都是有严格要求的，而初学者则容易犯这样那样的错误，因此，展开思维过程严格的思维程序训练和及时的反馈改错是必要的程序，缺乏这些基本环节的规范训练，则难以保证形成合乎要求的学科性智力技能。当我们抱怨学生不会思考，迟迟不能形成科学的思维习惯时，我们是否自检过，从小学高年级、初中到高中，我们是否给学生配了作业本，并对重点练习题的思维过程给予及时恰当的批改和指导了？

5.变式训练

同陈述性知识一样，程序性知识也具有概括性和广泛的适用性。在获得陈述性知识过程中，为了使获得的陈述性知识更准确、更清晰，我们需要通过大量正例和反例来把握概念的内涵和外延，使其边界清晰化。同样在获得程序性知识过程中，为了获得精确的程序性知识，也需要大量正例操作和反例操作训练来实现程序性知识模式识别环节的概括化和分化。因此，变式训练在程序性知识训练过程中是必不可少的。

例：物体置于光滑斜面上，用一水平力F推动斜面刚好使物体与斜面一起以加速度a向右做匀加速直线运动（如图3-4-1所示），求物体受到斜面的支撑力。

一个高一学生立即画出了如图3-4-1a的受力图及正交分解图，并求出N=mgcosθ的错误答案。

为什么会出现这种错误呢？这是因为学过受力分析、力的合成与分解、牛顿定律后，该生做过了一些有关“斜面上的物体”一类的习题，习惯于沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标系，用力的正交分解方法解决问题，如对于图3-4-2a中的沿着光滑斜面下滑的物体，N=mgcosθ，对于图3-4-3a中静止于斜面上的物体受到斜面的支持力仍然为N=mgcosθ，因此记住了这类题型及其解决方法，不假思索套用原来的方法解题。当在笔者启发下画出了图3-4-4b，并解得N=mg/cosθ这一结果时，感到很惊讶。其实通过图3-4-2a——图3-4-4b的一系列一题多解和变式练习，可以使学生认识到同一个问题都可以用力的合成、分解、正交分解方法进行解决；所以选择正交分解并且选加速度方向为其中的一个坐标轴，是因为这样做可以通过解直角三角形，并且一个坐标轴加速度为零，运算起来更简单；运用牛顿运动定律解题，要正确分析研究对象的受力情况和运动情况，然后按照规范思维步骤列方程解决问题，而不能只是简单的记忆题型……

 6.通法为主，持续训练，适度变通

普及教育阶段各学科教学的核心任务是进行学科的核心基础知识学习、基本学科思维方法和处理问题方法的学习与训练。基于学科通用性的分析问题处理问题方法的程序性知识训练必然是核心的教学任务。因为：第一，这样做是最经济的，花最少的教学时间掌握最主要的学科知识和能力；第二，这些基于数量有限应用广泛的学科通用方法和核心学科知识主干而建立起来的、与核心认知结构网络联系紧密的程序性知识体系比起通过大量题型训练建立起来的大量狭隘、孤立的程序性知识具有更强的适应性、易提取性；第三，符合新课程标准和高考出题“注意通性通法，淡化特殊技巧”的精神，对于有效应对高考，对于提倡素质教育都是必要的。

当然通法与特殊方法是相对而言，并没有绝对界限，并且也是随着学科发展而不断发展。

例1 中学数学常见通用方法

数学本质上是人类抽象逻辑思维（形式逻辑思维）的工具集，其每个分支领域都是一个自洽的形式逻辑体系。运用这些抽象逻辑思维工具，人们可以方便地对实际问题（进行数学模式化后）进行合乎逻辑的定量推演从而解决问题，同时将人们认识深度引领到一个新高度。在运用数学知识解决问题过程中以下思想和方法通常贯穿其中，具有普遍性：

（1）数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、转化（化归）思想等。这是解决数学题乃至以数学为基础其他理科问题中最常用最普遍的思想方法。

（2）具有学科特色的基本方法，如集合论方法、极限方法、坐标方法、向量方法等。

（3）抽象逻辑思维一般方法，如观察、试验、比较、分类、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等。

（4）具有普适意义的科学通用方法、规律，如对称性、等效性、模型化、简单性、美等。例如数学中有轴对称、中心对称、正三角形正四边形圆分别转动60°、90°和任意角对称，随便取数学公式如勾股定理（c²=a²+b²）、余弦定理（c²=a²+b²-2abcosC），a、b处于广义对称的地位；数学中的方程思想、化归思想又是等效转换性的体现；数学中的点、线、面、欧式空间、黎曼空间等都是模型，事实上，任何理论都是一种模型；数学公式、图形、解决方案以最简、最美为追求目标等等。

（5）具体进行论证演算的方法,又可以依其适应面分为两个层次：第一层次是适应面较宽的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法(即递推法)、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法等等；第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解里的“裂项法”、函数作图的“描点法”、以及三角函数作图的“五点法”、几何证明里的“截长补短法”、“补形法”、数列求和里的“裂项相消法”等。

例2 物理学基本方法

物理学是研究自然界最简单、最基本运动形式规律和物质最基本构成的一门基础自然科学，也是所有科学学科中发展最为成熟、定量化程度最高的自然科学。作为过去两百多年的带头学科，物理学发展过程中创立了大量的具有普遍应用价值的科学方法。中学物理解决问题时常用的方法有：

模型方法

模型方法是物理学处理问题的普遍方法，也是物理学得以发展为成熟的定量学科的法宝之一。物理学的研究对象无论实际物体,还是物理过程或是物理情境,大都需要简化为理想化模型。如：

实体模型:质点、点电荷、点光源、轻绳、轻杆、斜面、连结体、弹簧振子等；

物理过程：匀速运动、匀变速运动、简谐运动、弹性碰撞、匀速圆周运动等；

物理情境：人船模型、子弹打木块、平抛、临界问题等。

求解物理问题，很重要的一点就是迅速把所研究的问题归类到学过的物理模型上来，进而应用相应的物理规律和题目中所给边界条件将物理问题转化为数学形态，如列出数学式、方程或几何完形（数学模式化）。

寻找守恒量方法

物理学中的守恒是指在物理变化过程或物质的转化迁移过程中一些物理量的总量不变的现象或事实。守恒已是物理学中最基本的规律（如动量守恒、能量守恒、电荷守恒、质量守恒），也是一种解决物理问题的基本思想方法。并且应用起来简练、快捷。

运用守恒原理解决物理问题，需要理解所述量及所述量守恒事实的内在实质和外在表现。如动量描述的是物体的运动量，大小为mV,方向为速度的方向。动量守恒，就是物体作用前总的运动量等于作用后的总的运动量，方向不变。

寻找对称性方法

寻找对称性是现代理论物理探索的最基本的方法之一，许多物理领域的理论都是某种对称性的必然产物。在中学课程涉及的物理问题中也大量存在对称性的应用。利用物理问题的这一特点求解，可使问题简单化。要认识到一个物理过程一旦对称,则相当一部分物理量（如时间、速度、位移、加速度等）是对称的。

等效转换方法

等效法是在保证效果相同的前提下，将一个复杂的物理问题转换成较简单问题的思维方法，其基本特征为等效替代。

物理学中等效法的应用较多，如合力与分力；合运动与分运动；总电阻与分电阻；交流电的有效值等。除这些等效等效概念之外，还有等效电路、等效电源、等效模型、等效过程等。

整体法和隔离法

整体法是在确定研究对象或研究过程时,把多个物体看作为一个整体或多个过程看作整个过程的方法;隔离法是把单个物体作为研究对象或只研究一个孤立过程的方法。

整体法与隔离法看问题的角度不同：整体法是从大的方面或者是从整的方面来认识问题，从宏观上来揭示事物的本质和规律；而隔离法则是从小的方面来认识问题，然后再通过各个局部的联系，揭示出事物的本质和规律。因而在解题方面，整体法不需去分析内力或过程细节，显的简捷巧妙；隔离法逐个过程、逐个物体来研究，虽在求解上繁点，但对初涉者来说，在理解上较容易。对两种方法应熟练掌握，应用自如。

寻找临界点方法

一种物理过程转变为另一种物理过程，或一种物理状态转变为另一种物理状态时，处于两种过程或两种状态的分界处的问题，叫临界问题。处于临界状态的物理量的值叫临界值。

物理量处于临界值时：

①物理现象的变化面临突变性。

②对于连续变化问题，物理量的变化出现拐点，呈现出两性，即能同时反映出两种过程和两种现象的特点。

解决临界问题，关键是找出临界条件。一般有两种基本方法：①以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析、讨论其特殊规律和特殊解；②直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，求解出研究问题的规律和解。

猜想与假设方法

猜想与假设法是指在研究对象的物理过程或物理状态不明了的情况下，根据猜想，假设出一种过程或一种状态，再据题设所给条件通过分析计算结果与实际情况比较作出判断的一种方法,或是人为地改变原题所给条件，产生出与原题相悖的结论，从而使原题得以更清晰方便地求解的一种方法。

平均思想方法

物理学中，有些物理量是某个物理量对另一物理量的积累，若某个物理量是变化的，则在求解积累量时，可把变化的这个物理量在整个积累过程看作是恒定的一个值——平均值，从而通过求积的方法来求积累量。这种方法叫平均思想方法。

物理学中典型的平均值有：平均速度、平均加速度、平均功率、平均力、平均电流等。对于线性变化情况，平均值=（初值+终值）/2。由于平均值只与初值和终值有关,不涉及中间过程,所以在求解问题时有很大的妙用。

极限思维方法

极限思维方法是将问题推向极端状态的过程中,着眼一些物理量在连续变化过程中的变化趋势及一般规律在极限值下的表现或者说极限值下一般规律的表现,从而对问题进行分析和推理的一种思维办法。

图形/图象图解法

图形/图象图解法就是将物理现象或过程用图形/图象表征出后，再据图形表征的特点或图象斜率、截距、面积所表述的物理意义来求解的方法。尤其是图象法对于一些定性问题的求解独到好处。

另外，还有诸如控制变量法、估算法、微元法，以及函数思想、方程思想、概率思想等数学思想和方法。

7.一题多解与一题多变

数学公式在数学解题中作用非常巨大。并且，要学好数学，就必须熟练地运用公式。但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。例如：在学习等差数列通项公式a_n=a₁+(n-1)d时，

方法一：

      

      …………………

由此得到           a_n=a₁+(n-1)d

方法二：

有等差数列定义知：

      所以有 

             

             

             

        ……………                        

累加得   从而得到  a_n=a₁+(n-1)d

    方法二就是我们常用的求数列通项公式的方法—累差法。这样的话，学生对这个公式的产生过程印象就更深刻，对公式也就更难忘。另外，在记忆公式的同时，也学到了重要的数学方法和思路，更有助于学生数学思维的发展。这种实例在高中阶段的新课教学中还有很多，就不一一列举。

一题多变和一题多解的变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。在例题讲解中运用一题多解和一题多变，就不用列举大量的例题让学生感到无法接受。而是从一个题中获得解题的规律，技巧，从而举一反三。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x²+y²的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则

     x²+y²= x²+（1-x）²=2x²－2x+1=2（x－2(1)）²+2(1)

由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知

当x=2(1)时，x²+y²取最小值2(1)；当x=0或1时，x²+y²取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，数学有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设

      x=cos²θ，y=sin²θ   其中θ∈[0，2(π)]

则x²+y²= cos⁴θ+sin⁴θ=（cos²θ+sin²θ）²－2 cos²θsin²θ

      =1－2(1)（2sinθcosθ）²=1－2(1)sin²2θ

=1－2(1)×2(1－cos4θ)=4(3)+4(1) cos4θ

于是，当cos4θ=－1时，x²+y²取最小值2(1)；

     当cos4θ=1时，x²+y²取最大值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设

    x=2(1)+t，  y=2(1)－t，其中t∈[－2(1)，2(1)]

于是，x²+y²= （2(1)+t）²+（2(1)－t）²=2(1)+2t²   t²∈[0，4(1)]

所以，当t²=0时，x²+y²取最小值2(1)；当t²=4(1)时，x²+y²取最大值1。

评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。

这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。

解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1

则        xy≤4(（x+y）2)=4(1)，从而0≤xy≤4(1)

于是，x²+y²=（x+y）²－2xy=1－2xy

所以，当xy=0时，x²+y²取最大值1；当xy=4(1)时，x²+y²取最小值2(1)。

评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。

解法四：（解析几何思想）设，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段 上的点到原点的最大和最小距离就可。

当点C与A或B重合时，d_max=1，则（x²+y²）_max=1

当OC⊥AB时d_min=2(2 )，则（x²+y²）_min=2(1)

评注：用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。

解法五：（数形结合思想）设x²+y²=r²（r＞0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r的动圆，记为⊙F。

于是，问题转化为⊙F与线段

有公共点，求r的变化范围。

当⊙F经过线段AB端点时r_max=1；当⊙F与线段AB相切时r_min=2(2 )

则         2(1)≤x²+y²≤1

评注：此解法与解法四并无本质区别，关键是数形结合思想的形成。

至此，解答本题的几种常见方法介绍完毕，下面展示对本题的变式和推广。

变式1：已知a、b为非负数，M=a⁴+b⁴，a+b=1，求M的最值。

    变式2：已知x、y≥0且x+y=1，能求x⁸+y⁸的取值范围吗？x⁸+y⁶呢？x⁷+y⁷的范围能求吗？     

变式3：若x、y≥0且x+y=1，能求得2n－1(1)≤xⁿ+yⁿ≤1的结论吗？

这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。在数学教学中,若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。当然，在新课的教学中有些方法所用的知识，学生还未学到，此时，我们可从中挑选学生学过的知识。其他方法可在今后的总复习中给出。

在数学教学中，很多老师在课后给学生布置除书上练习题和习题以外的大量习题。使学生感到负担很重。很多学生根本无法完成，便出现了抄作业的现象。对数学的厌恶感便油然而生。还有老师从网上寻找各种各样的所谓的新颖题布置给学生做。这样也只会挫伤学生的自信心。我们为什么不能从书上的习题入手，进行演变，逐渐加深。让学生有规律可寻，循序渐进。日积月累过后，学生解题能力自然提高，对于从未见过的新题也会迎刃而解。另外，我们在把变式题布置给学生的同时，便可要求学生运用一题多解，甚至可以要求学生自己对题型进行变式。这样的作业方式不只可以达到复习巩固的目的，还可以提高学生的探究能力及学习数学的兴趣。

例如，在学习抛物线后，在习题中出现了以下一题：

过抛物线y²=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y₁，y₂，求证：y₁y₂=-p²。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）

此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。在布置此题给学生时我们便可以有针对性的演变。如变成

（1）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。

（2）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。

（3）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。

另外，还可以让学生自己变式，便还可能出现如下变式：

（4）证明：抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。

（5）证明：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。

（6）证明：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点，三点共线。

在习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。

总之，在习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题，采用一题多解与一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。

8.程序性知识的兴奋度和优先优势性问题

学习是为了运用。掌握程序性知识的目的就是要在面对问题时能快速正确地调用顺利解决问题。虽然学科教学中主要使用的是学生心理的意识部分，甚至可以说主要是抽象逻辑思维部分，但面对问题情境，特别是比较紧张紧急的情况下，能否快速调用正确的程序性知识顺利解决问题，这更多的是潜意识领域的问题。根据本书第一章第六节对认知结构与环境作用的优先优势性问题有关结论，结合学科教学实际，我们可以归纳出以下几点提高程序性知识兴奋度和优先优势性的做法：

（1）彻底实现前概念向科学概念的转变，并用基于科学概念和科学思维方法的解决问题训练过程获得的程序性知识彻底取代先前的“前科学的本能反应”。

（2）熟练化。没有熟练化，就没有严格意义上的程序性知识产生，在应激时往往派不上用场，只能调用更本能的程序性知识（通常是蒙一把或者是放弃）。从生物学视角看，通过科学课程学习和训练形成的程序性知识可以看成是一种可无限扩充的“人造本能”，只有新学的人造本能足够熟练、足够好用、感觉足够良好，才能永久性替代原有习惯化的本能。

（3）程序性知识训练过程中强化反馈意识和反馈改正程序，以确保问题解决过程中的正确率。

（4）强化主干知识，强化知识结构网络化结构化，注重通法训练。这样做才能减轻记忆负担，熟练基本技能，便于提取，便于举一反三、灵活运用。

（5）保护学生的自信心。“趋利避害”是生物的本能，是象征性思维的规律。因此，如果要使学到的知识优先提取，那么就要设法使之和愉快的记忆连接在一起，如果不幸与痛苦的情绪联系在一起，那么潜意识将“唯恐避之不及”，更谈不上保持兴奋度和优先优势了。前面的循序渐进原则有助于学生自信心的建立。让学生体会科学知识体系的通透与简美，让学生体验攻克难关时的自豪和快乐，而不是时刻体验低能、失败和无助的煎熬。对学生宜表扬鼓励而不是打击挖苦。毕竟，老师打击一下学生的自信心太容易了，从题海中信手拈来的做也做不完的作业或者惩罚式的作业或者不经意的一句话一个眼神就够了。

总之，像任何心理训练一样，做好程序性知识训练关键还是落实到能力和兴趣两个核心上，这既是心理训练的终极目标，也是保持有效训练过程的保障。

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